Измельчение в шаровых мельницах (где в качестве измельчаемой среды выступают мелющие шары) является одним из широко применяемых на практике способов уменьшения размеров частиц материала. Известно достаточно много работ, посвященных детальному рассмотрению процесса взаимодействия размольного тела с частицами материала. В тоже время, количество работ по расчету оптимального заполнения барабана шаровой мельницы мелющими телами достаточно мало. Как правило, оптимальная загрузка определяется опытным путём, из теоретических исследований можно отметить методы расчета наилучшей загрузки Шелехова Е.В., Левенсона Л.Б., Амосова Е.А. В дальнейшем, мы рассмотрим данные методы в наших публикациях.
Как известно, измельчение материала может происходить либо за счёт падения мелющих шаров (водопадный режим работы мельницы) либо за счёт истирания частиц материала перекатывающимися размольными телами (каскадный режим). Допустим, измельчение материала происходит в водопадном режиме. Падающий шар набирает энергию за счёт разгона в поле силы тяжести, и при ударе полученная энергия тратится на разрушение частицы материала.
Для скорейшего измельчения материала, необходимо большое число сильных ударов размольного тела о материал. Выясним, как число ударов шара о материал и энергия удара будут зависеть от заполнения барабана мелющими телами.
Шар при падении движется равноускорено, без начальной скорости, поэтому можно записать связь пройденного шаром пути Н, времени падания шара до удара t и ускорения падения a:
Следовательно, время падения пропорционально квадратному корню из пройденного пути, который, в свою очередь, зависит от размера барабана шаровой мельницы. Очевидно, что чем меньше время падения, тем чаще размольные тела будут ударяться о загруженный для измельчения материал и тем, соответственно, быстрее произойдёт процесс измельчения. Отсюда следует, что для наискорейшего размола нужно, чтобы пройденный шаром при падении путь был как можно меньше.
С другой стороны, так как падающий шар всё время разгоняется, то это означает, что чем больше пройденный путь, тем большую кинетическую энергию приобретает размольное тело, тем сильнее будет удар, а значит, для скорейшего размола материала необходимо, чтобы пройденный при падении шара путь был как можно больше.
Таким образом, для наискорейшего размола нужно, чтобы удары размольного тела при водопадном режиме происходили как можно чаще, и каждый удар сообщал частице измельчаемого материала как можно больше энергии.
Сочетание этих двух факторов и поможет определить оптимальную загрузку барабана шаровой мельницы.
Как уже было отмечено выше, время падения одного мелющего шара пропорционально пройденному пути:
Кинетическая энергия Е, приобретённая шаром за счёт изменения потенциальной энергии, так же пропорциональна пройденному пути Н:
Введём обозначение х = (Н/Нmax), и построим в одних и тех же координатах зависимость безразмерного времени (t/tmax) и безразмерной энергии (E/Emax) от величины х.
На рисунке видны две линии: одна (кривая линия) представляет зависимость времени (которое изменяется от 0 до 1) от величины х, другая (прямая линия) – зависимость энергии (которая изменяется от 0 до 1) от величины х. Как видно из рисунка, в некоторой точке данные линии пересекаются, и можно ожидать, что в данной точке (иначе говоря, при данном значении пройденного размольным телом пути) будут созданы наилучшие условия для эффективного размола измельчаемого материала.
В точке пересечения можно записать:
Решая это уравнение относительно х, получаем число, связанное с пропорцией так называемого «золотого сечения»:
Таким образом, наша модель позволяет сделать следующее предположение: если бы шар в мельнице падал на материал, потом мгновенно поднимался и снова падал, то можно ожидать, что наилучшие условия для размола возникли бы, если бы падающий шар проходил примерно 40 процентов от максимально возможного пути по вертикальной линии.
Это позволяет нам сделать вывод, что барабан шаровой мельницы должен быть более чем наполовину заполнен мелющими телами.
Однако из опыта использования мельниц известно, что наилучшие условия для измельчения создаются при заполнении мельницы примерно на 40 процентов от объёма. Следовательно, наша модель даёт заметно завышенную величину заполнения барабана шаровой мельницы.
В то же время, мы понимаем, что на эффективность измельчения в большей степени влияет энергия, которая набирается мелющими телами во время свободного падения. Действительно, чем больше свободное пространство внутри шаровой мельницы, тем большую кинетическую энергию успеет набрать летящий шар до удара об измельчаемый материал в водопадном режиме работы. И более редкие более сильные удары оказываются более эффективными для размола, чем более частые, но более слабые удары.
Согласно Левенсону Л.Б., наилучший уровень заполнения барабана должен составлять примерно 1/3 от вертикального диаметра. Отсюда несложно посчитать, что до удара о материал падающее размольное тело проходит более 50…60 процентов по вертикали от максимально возможного пути. Набранная при движении шара энергия будет, соответственно, превышать в полтора-два раза величину энергии по сравнению с энергией, которую получил бы шар, пройдя 40 процентов возможного пути (если не принимать в расчёт сопротивление воздуха).
Определим, оставаясь в рамках наших представлений, что изменится, если мельница будет работать не в водопадном режиме, а в режиме истирания (каскадном или смешанном режиме) шарами измельчаемого материала. В этом случае будем считать, что шар скатывается по некоторой наклонной плоскости внутри барабана шаровой мельницы.
Как известно ещё со времени классических опытов Г.Галилея, скатывание шаров по наклонной плоскости является аналогом свободного падения шаров под действием силы тяжести. Поэтому движение шаров в этом случае также подчиняется отмеченным выше закономерностям (зависимости времени движения и приобретённой энергии от пройденного пути). Следовательно, методика расчёта сохраняется, и результаты расчёта будут такими же, как и при водопадном режиме работы шаровой мельницы, то есть, получится, число, связанное с пропорцией «золотого сечения».
Таким образом, при водопадном режиме работы шаровой мельницы и при работе в режиме истирания, с точки зрения предложенной модели, для достижения наилучших условий размола материала падающий или скатывающийся шар должен пройти по вертикали расстояние, связанное с пропорцией «золотого сечения».
В дальнейшем, мы рассмотрим более детально разные методы расчета оптимальной загрузки шаровой мельницы мелющими телами. Но, как показывает практика, норма загрузки мельницы мелющими шарами колеблется от 35 до 42%. Следовательно, метод, описанный выше вполне приемлем и может использоваться на практике.